Ответ:

  1. безыдейный — безыдейный: после русской приставки на согласную начальное и корня обычно переходит в ы.
  2. сверхинтересный — сверхинтересный: после сверх- пишется и.
  3. подытожить — подытожить: после русской приставки на согласную пишется ы.
  4. разыграть — разыграть: после русской приставки на согласную пишется ы.
  5. межинститутский — межинститутский: после меж- пишется и.
  6. предыдущий — предыдущий: после русской приставки на согласную пишется ы.
  7. взимать — взимать: исключение, после вз- сохраняется и.
  8. отыскать — отыскать: после русской приставки на согласную пишется ы.
  9. суперигра — суперигра: после иноязычной приставки супер- пишется и.
  10. предыстория — предыстория: после русской приставки на согласную пишется ы.

В каждом слове жирным выделены приставка и корень, а также вставленная буква.