Задание 18. Докажите, что для всех допустимых значений α справедливы равенства: а) (1 − sin α)(1 + sin α) = cos² α; б) cos² α/(1 + cos² α) = ctg² α; в) (1 + ctg² α)(1 − cos² α) = 1; г) (1 + tg² α)(1 − sin² α) = 1; д) (1 + tg² α + 1/sin² α) : sin² α · cos² α = 1; е) cos⁴ α − sin⁴ α = 1 − 2sin² α; ж) (sin² α − cos² α)² + 4sin² α · cos² α = 1.

В пункте б) знак в знаменателе на фото выглядит как «+». При таком чтении равенство неверно; если там «−», оно доказывается. Пункт д), прочитанный как напечатано, также не является тождеством.

а) По разности квадратов и основному тождеству: \((1-\sin\alpha)(1+\sin\alpha)=1-\sin^2\alpha=\cos^2\alpha\).

б) Если в знаменателе стоит «+», равенство неверно: при \(\alpha=\dfrac{\pi}{4}\) левая часть равна \(\dfrac{1}{3}\), а правая — \(1\). Если подразумевается «−», то \(\dfrac{\cos^2\alpha}{1-\cos^2\alpha}=\dfrac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}=\operatorname{ctg}^2\alpha\).

в) \((1+\operatorname{ctg}^2\alpha)(1-\cos^2\alpha)=\dfrac{1}{\sin^2\alpha}\cdot\sin^2\alpha=1\).

г) \((1+\operatorname{tg}^2\alpha)(1-\sin^2\alpha)=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}\cdot\cos^2\alpha=1\).

д) При буквальном прочтении, с выполнением деления и умножения слева направо, выражение упрощается так: \((1+\operatorname{tg}^2\alpha+\dfrac{1}{\sin^2\alpha}):\sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha=\dfrac{2}{\sin^2\alpha}:\sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha=\dfrac{2\cos^2\alpha}{\sin^4\alpha}\), что не равно 1 для всех допустимых \(\alpha\). Например, при \(\alpha=\dfrac{\pi}{4}\) получается 4. Вероятно, в условии есть опечатка или неверно распознан знак; для доказательства нужно уточнить запись.

е) \(\cos^4\alpha-\sin^4\alpha=(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha)(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=1-2\sin^2\alpha\).

ж) Раскроем квадрат и сгруппируем слагаемые: \((\sin^2\alpha-\cos^2\alpha)^2+4\sin^2\alpha\cos^2\alpha=\sin^4\alpha+2\sin^2\alpha\cos^2\alpha+\cos^4\alpha=(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)^2=1\).