Задание 18. Докажите, что для всех допустимых значений α справедливы равенства: а) \((1-\sin\alpha)(1+\sin\alpha)=\cos^2\alpha\); б) \(\dfrac{\cos^2\alpha}{1-\cos^2\alpha}=\operatorname{ctg}^2\alpha\); в) \((1+\operatorname{ctg}^2\alpha)(1-\cos^2\alpha)=1\); г) \((1+\operatorname{tg}^2\alpha)(1-\sin^2\alpha)=1\); д) \((1+\operatorname{tg}^2\alpha+\dfrac{1}{\sin^2\alpha})\cdot\sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha=1\); е) \(\cos^4\alpha-\sin^4\alpha=1-2\sin^2\alpha\); ж) \((\sin^2\alpha-\cos^2\alpha)^2+4\sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha=1\).

1. \((1-\sin\alpha)(1+\sin\alpha)=1-\sin^2\alpha=\cos^2\alpha\), поскольку \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\).

2. \[\frac{\cos^2\alpha}{1-\cos^2\alpha}=\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}=\operatorname{ctg}^2\alpha.\]

3. \[(1+\operatorname{ctg}^2\alpha)(1-\cos^2\alpha)=\frac{1}{\sin^2\alpha}\cdot\sin^2\alpha=1.\]

4. \[(1+\operatorname{tg}^2\alpha)(1-\sin^2\alpha)=\frac{1}{\cos^2\alpha}\cdot\cos^2\alpha=1.\]

5. \[\left(1+\operatorname{tg}^2\alpha+\frac{1}{\sin^2\alpha}\right)\sin^2\alpha\cos^2\alpha=\left(\frac{1}{\cos^2\alpha}+\frac{1}{\sin^2\alpha}\right)\sin^2\alpha\cos^2\alpha=\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1.\]

6. \[\cos^4\alpha-\sin^4\alpha=(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha)(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=1-2\sin^2\alpha.\]

7. \[(\sin^2\alpha-\cos^2\alpha)^2+4\sin^2\alpha\cos^2\alpha=(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)^2=1.\]

В каждом преобразовании применено основное тождество; в пунктах с дробями берутся только значения α, при которых знаменатели и тангенс или котангенс определены.