ЗАДАНИЕ 2 Вычислите: a) \( \frac{(5^7)^5 \cdot 5^{-6}}{(5^4)^5} \); б) \( \frac{6^{575}}{424} \)

Решение:

1. а) Вычисление дроби со степенями:
• Применим свойство степени \( (a^m)^n = a^{m
  } \): \( \frac{5^{7
  5}
  5^{-6}}{5^{4
  5}} = \frac{5^{35}
  5^{-6}}{5^{20}} \).
• Применим свойство степени \( a^m
  a^n = a^{m+n} \): \( \frac{5^{35 + (-6)}}{5^{20}} = \frac{5^{29}}{5^{20}} \).
• Применим свойство степени \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \): \( 5^{29 - 20} = 5^9 \).
2. б) Вычисление дроби \( \frac{6^{575}}{424} \):
• Представим \( 6 \) как \( 2
  3 \) и \( 424 \) как \( 8
  53 = 2^3
  53 \).
• \( \frac{6^{575}}{424} = \frac{(2
  3)^{575}}{2^3
  53} = \frac{2^{575}
  3^{575}}{2^3
  53} \).
• Упростим: \( \frac{2^{572}
  3^{575}}{53} \).
• Так как \( 575 \) — очень большое число, точное вычисление без калькулятора затруднительно. Предполагается, что необходимо упростить выражение.

Ответ: а) \( 5^9 \); б) \( \frac{2^{572}
3^{575}}{53} \).