Задание 20. 5) Дано: ABCD — трапеция, D ∈ α, A ∉ α, B ∉ α, C ∉ α, MN — средняя линия трапеции. Доказать: MN и BC пересекают плоскость α.

Средняя линия MN параллельна основаниям трапеции. В изображённой конфигурации основания — AB и CD, поэтому MN ∥ CD.

1. CD проходит через D ∈ α и C ∉ α, поэтому пересекает α.
2. Так как MN ∥ CD, по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми MN пересекает α.

Из перечисленных в условии данных пересечение BC с α не следует: точки B и C обе вне плоскости, и не указано, что они находятся по разные стороны от α. Например, если B и C находятся по одну сторону от α, прямая BC может не пересекать α. Поэтому для доказательства пересечения BC нужна дополнительная информация, например, что B и C лежат по разные стороны от α.

Ответ: MN пересекает α; пересечение BC с α по данным условия доказать нельзя.