Задание 20. Решите неравенство: $ (x – 1)^2 < \sqrt{2}(x – 1) $.

Question

Вопрос: $Фото задания: Задание 20. Решите неравенство: $ (x – 1)^2 < \sqrt{2}(x – 1) $.$ Фото задания

Accepted Answer

Перенесём всё в одну сторону:

$ (x – 1)^2 - \sqrt{2}(x – 1) < 0 $

Вынесем общий множитель $ (x-1) $:

$ (x – 1) \left( (x – 1) - \sqrt{2} \right) < 0 $

$ (x – 1) (x – 1 – \sqrt{2}) < 0 $

Найдём корни уравнения $ (x – 1) (x – 1 – \sqrt{2}) = 0 $.

Корни: $ x_1 = 1 $ и $ x_2 = 1 + \sqrt{2} $.

Теперь определим знаки произведения на интервалах, образованных корнями:

Интервал $ (-\infty, 1) $: Возьмём $ x = 0 $. $ (0-1)(0-1-\sqrt{2}) = (-1)(-1-\sqrt{2}) = 1+\sqrt{2} > 0 $.
Интервал $ (1, 1+\sqrt{2}) $: Возьмём $ x = 1.1 $ (так как $ \sqrt{2} \approx 1.41 $). $ (1.1-1)(1.1-1-\sqrt{2}) = (0.1)(0.1-\sqrt{2}) $. Так как $ \sqrt{2} > 0.1 $, то $ 0.1 - \sqrt{2} < 0 $. Произведение $ 0.1 \cdot (отрицательное число) < 0 $.
Интервал $ (1+\sqrt{2}, \infty) $: Возьмём $ x = 3 $. $ (3-1)(3-1-\sqrt{2}) = (2)(2-\sqrt{2}) $. Так как $ 2 > \sqrt{2} $, то $ 2-\sqrt{2} > 0 $. Произведение $ 2 \cdot (положительное число) > 0 $.

Неравенство $ < 0 $ выполняется на интервале $ (1, 1+\sqrt{2}) $.

Ответ: $ (1, 1 + \sqrt{2}) $

Задание 20. Решите неравенство: \( (x – 1)^2 < \sqrt{2}(x – 1) \).