Задание 24. Окружности с центрами в точках I и Ј не имеют общих точек, и окружности не лежат одна внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении т:п. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как т:п.

Решение:

Пусть \( r_1 \) и \( r_2 \) — радиусы окружностей с центрами \( I \) и \( J \) соответственно. Обозначим точки касания внутренней общей касательной \( AB \) с первой окружностью как \( A \), а со второй — как \( B \). Пусть \( K \) — точка пересечения отрезка \( IJ \) и касательной \( AB \).

По условию, \( K \) делит отрезок \( IJ \) в отношении \( m:n \), то есть \( IK : KJ = m:n \).

Проведем радиусы \( IA \) и \( JB \). Так как \( AB \) — касательная, то \( IA \perp AB \) и \( JB \perp AB \). Следовательно, \( \triangle IKA \) и \( \triangle JKB \) подобны (по двум углам: \( \angle IKA = \angle JKB \) как вертикальные, и \( \angle KAI = \angle KBJ = 90^{\circ} \)).

Из подобия треугольников следует отношение их соответствующих сторон:

\( \frac{IA}{JB} = \frac{IK}{KJ} \)

Подставим известные значения:

\( \frac{r_1}{r_2} = \frac{m}{n} \)

Диаметры окружностей равны \( d_1 = 2r_1 \) и \( d_2 = 2r_2 \). Отношение диаметров:

\( \frac{d_1}{d_2} = \frac{2r_1}{2r_2} = \frac{r_1}{r_2} \)

Следовательно,

\( \frac{d_1}{d_2} = \frac{m}{n} \)

Это доказывает, что диаметры этих окружностей относятся как \( m:n \).