Задание 22. Постройте график функции: $ y = \begin{cases} 4x - 5, & x < 1 \\ -2.5x + 5, & 1 \le x \le 4 \\ x - 9, & x > 4 \end{cases} $. Определите, при каких значениях $ m $ прямая $ y = m $ имеет с графиком ровно две общие точки.

Question

Вопрос: $Фото задания: Задание 22. Постройте график функции: \( y = \begin{cases} 4x - 5, & x < 1 \\ -2.5x + 5, & 1 \le x \le 4 \\ x - 9, & x > 4…$ Фото задания

Задание 22. Постройте график функции: $ y = \begin{cases} 4x - 5, & x < 1 \\ -2.5x + 5, & 1 \le x \le 4 \\ x - 9, & x > 4 \end{cases} $. Определите, при каких значениях $ m $ прямая $ y = m $ имеет с графиком ровно две общие точки.

Accepted Answer

Решение:

Построим график по частям:

$ y = 4x - 5 $ для $ x < 1 $: Это луч. При $ x = 1 $ (не включая) $ y = 4(1) - 5 = -1 $. При $ x = 0 $, $ y = -5 $. Точка $ (1, -1) $ — незакрашенная.
$ y = -2.5x + 5 $ для $ 1 \le x \le 4 $: Это отрезок. При $ x = 1 $ $ y = -2.5(1) + 5 = 2.5 $. Точка $ (1, 2.5) $ — закрашенная. При $ x = 4 $ $ y = -2.5(4) + 5 = -10 + 5 = -5 $. Точка $ (4, -5) $ — закрашенная.
$ y = x - 9 $ для $ x > 4 $: Это луч. При $ x = 4 $ (не включая) $ y = 4 - 9 = -5 $. Точка $ (4, -5) $ — незакрашенная (совпадает с концом отрезка). При $ x = 5 $, $ y = 5 - 9 = -4 $.

Теперь определим, при каких $ m $ прямая $ y = m $ (горизонтальная линия) пересекает график в двух точках.

Проведём горизонтальные линии и посмотрим на количество пересечений:

Линии выше $ y = 2.5 $ не пересекают график.
Линия $ y = 2.5 $ пересекает график в одной точке (начало отрезка).
Линии между $ y = -1 $ (не включая) и $ y = 2.5 $ (не включая) пересекают график в двух точках (одну в луче $ y = 4x - 5 $ и одну в отрезке $ y = -2.5x + 5 $).
Линия $ y = -1 $ пересекает график в двух точках (конец луча $ y = 4x - 5 $ и точка на отрезке $ y = -2.5x + 5 $).
Линии между $ y = -5 $ (не включая) и $ y = -1 $ (не включая) пересекают график в двух точках (одну в отрезке $ y = -2.5x + 5 $ и одну в луче $ y = x - 9 $).
Линия $ y = -5 $ пересекает график в двух точках (конец отрезка $ y = -2.5x + 5 $ и начало луча $ y = x - 9 $).
Линии ниже $ y = -5 $ пересекают график в одной точке (в луче $ y = x - 9 $).

Таким образом, прямая $ y = m $ имеет ровно две общие точки с графиком, когда $ m $ находится в интервалах $ (-5, -1) $ и $ (-1, 2.5) $, а также на значениях $ m = -5 $ и $ m = -1 $.

Объединяя эти интервалы, получаем:

$ m \in [-5, -1) \cup (-1, 2.5) $.

Ответ: $ m \in [-5, -1) \cup (-1, 2.5) $