Задание 24. Углы при одном из оснований трапеции равны 77° и 13°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 11 и 10. Найдите основания трапеции.

Решение:

Пусть \( a \) и \( b \) — основания трапеции, \( a > b \). Пусть \( K \) и \( L \) — середины боковых сторон, а \( M \) и \( N \) — середины оснований. Тогда \( KL \) — средняя линия, а \( MN \) — ось симметрии (если трапеция равнобедренная) или линия, перпендикулярная основаниям.

В условии задачи сказано, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны 11 и 10. Эти отрезки — средняя линия \( KL = \frac{a+b}{2} \) и отрезок \( MN \), соединяющий середины оснований. Значит, \( KL = 11 \) и \( MN = 10 \) (или наоборот).

Углы при одном из оснований трапеции равны 77° и 13°. Сумма этих углов \( 77° + 13° = 90° \). Это означает, что трапеция является прямоугольной, если бы один из углов был 90°. В данном случае, такие углы могут быть только у основания, к которому примыкают боковая сторона и одно из оснований.

Пусть \( a \) и \( b \) — основания, \( a \ge b \). У нас есть два отрезка, соединяющих середины противоположных сторон. Один из них — средняя линия \( \frac{a+b}{2} \), а другой — отрезок, соединяющий середины оснований. Длина этого отрезка равна \( \frac{a-b}{2} \) только для прямоугольной трапеции.

Сумма углов 77° и 13° при одном основании равна 90°. Это означает, что боковая сторона, не перпендикулярная основаниям, образует с меньшим основанием угол 77°, а с большим основанием — угол 13°. Если бы это была прямоугольная трапеция, один из углов был бы 90°.

Рассмотрим случай, когда \( \frac{a+b}{2} = 11 \) и \( \frac{a-b}{2} = 10 \).

Из первого уравнения: \( a+b = 22 \).

Из второго уравнения: \( a-b = 20 \).

Сложим уравнения:

\( (a+b) + (a-b) = 22 + 20 \)

\( 2a = 42 \)

\( a = 21 \)

Подставим \( a \) в первое уравнение:

\( 21 + b = 22 \)

\( b = 1 \)

Проверим, могут ли такие основания соответствовать данным углам. Если \( a=21 \) и \( b=1 \), то \( \frac{a+b}{2} = \frac{21+1}{2} = 11 \) и \( \frac{a-b}{2} = \frac{21-1}{2} = 10 \).

Это соответствует условию. Теперь проверим углы. В прямоугольной трапеции, где \( a=21 \) и \( b=1 \), высота \( h \) и боковая сторона \( c \). Углы при основании \( a \) будут 90° и \( 90° \), а при основании \( b \) — 90° и \( 90° \).

Если трапеция не прямоугольная, то углы при одном основании равны \( \alpha \) и \( \beta \), а при другом \( 180° - \alpha \) и \( 180° - \beta \). Сумма углов \( 77° + 13° = 90° \) указывает на то, что трапеция может быть не прямоугольной, а с такими углами при основании. Если при одном основании углы 77° и 13°, то при другом основании будут 103° и 167°. Это возможно.

Если \( \frac{a+b}{2} = 10 \) и \( \frac{a-b}{2} = 11 \).

\( a+b = 20 \)

\( a-b = 22 \)

\( 2a = 42 \)

\( a = 21 \)

\( 21 + b = 20 \)

\( b = -1 \)

Длина основания не может быть отрицательной, поэтому этот вариант неверен.

Значит, основания равны 21 и 1.

Ответ: 21 и 1