Задание 22. Постройте график функции \(y=2|x-4|-x^2+9x-20\). Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.

Раскроем модуль отдельно для двух промежутков:

При \(x<4\): \(y=2(4-x)-x^2+9x-20=-x^2+7x-12\).

При \(x\ge4\): \(y=2(x-4)-x^2+9x-20=-x^2+11x-28\).

График состоит из двух частей парабол. Первая имеет вершину \((3.5;0.25)\), вторая — вершину \((5.5;2.25)\).

Подсчитаем пересечения горизонтальной прямой с частями графика. При \(m=0\) получаем точки с абсциссами \(3,4,7\), всего три. При \(m=0.25\) прямая касается первой параболы в её вершине и пересекает вторую в двух точках, всего три. Для остальных значений числа пересечений другие.

Ответ: \(m=0\) или \(m=\dfrac14\).