Задание 25. В треугольнике $ABC$ известны длины сторон $AB=28$, $AC=56$, точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$. Прямая $BD$, перпендикулярная прямой $AO$, пересекает сторону $AC\ в точке \(D$. Найдите $CD$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Задание 25. В треугольнике $ABC$ известны длины сторон $AB=28$, $AC=56$, точка $O$ — центр окружности, описанной…$ Фото задания

Задание 25. В треугольнике $ABC$ известны длины сторон $AB=28$, $AC=56$, точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$. Прямая $BD$, перпендикулярная прямой $AO$, пересекает сторону $AC\ в точке \(D$. Найдите $CD$.

Accepted Answer

Введём координаты: $A=(0,0)$, $C=(56,0)$, $B=(u,v)$, а так как центр описанной окружности равноудалён от $A$ и $C$, запишем $O=(28,w)$. Из условия $AB=28$ следует $u^2+v^2=784$.

Поскольку $OA=OB$, приравниваем квадраты расстояний:

$784+w^2=(u-28)^2+(v-w)^2$.

Подставляя $u^2+v^2=784$ и упрощая, получаем $vw=28(14-u)$.

Направляющий вектор прямой $AO$ — $(28,w)$, поэтому направляющим вектором перпендикулярной ей прямой $BD$ можно взять $(w,-28)$. На прямой через $B"): \((x,y)=(u,v)+t(w,-28)$. В точке $D$ координата $y=0$, значит, $t=v/28$, а $x_D=u+vw/28=u+(14-u)=14$.

Таким образом, $AD=14$, и $CD=AC-AD=56-14=42$.

Ответ: 42.