Задание 25. Четырёхугольник ABCD со сторонами AB=11 и CD=41 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠AKB=60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Пусть половины центральных углов, опирающихся на хорды AB и CD, равны \(\alpha\) и \(\beta\). Для внутреннего угла, образованного пересекающимися хордами, \(\alpha+\beta=60^\circ\). По формуле хорды \(11=2R\sin\alpha\) и \(41=2R\sin\beta\).

Из отношения длин хорд: \(\frac{\sin\beta}{\sin\alpha}=\frac{41}{11}\), при \(\beta=60^\circ-\alpha\). Тогда \(\frac{\sin(60^\circ-\alpha)}{\sin\alpha}=\frac{41}{11}\), откуда \(\cot\alpha=\frac{93}{11\sqrt3}\), то есть \(\tan\alpha=\frac{11\sqrt3}{93}\).

По формуле \(\sin\alpha=\frac{\tan\alpha}{\sqrt{1+\tan^2\alpha}}\) получаем \(R=\frac{11}{2\sin\alpha}=2\sqrt{751}\) см.

Ответ: \(2\sqrt{751}\) см.