ЗАДАНИЕ 2 Вычислите: a) \( \frac{3^{2}}{3^{5}} \) ; b) \( \frac{6^{4}9^{6}}{54^{8}} \).

Краткое пояснение:

Для вычислений используем свойства степеней: \( \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n} \), \( (a^{m})^{n} = a^{m \cdot n} \) и \( (ab)^{n} = a^{n}b^{n} \).

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Вычисляем значение первой дроби, используя свойство деления степеней с одинаковым основанием.
   \( \frac{3^{2}}{3^{5}} = 3^{2-5} = 3^{-3} = \frac{1}{3^{3}} = \frac{1}{27} \)
2. Шаг 2: Преобразуем вторую дробь, чтобы привести основания степеней к одному виду. Заметим, что \( 54 = 6 \cdot 9 \).
   \( \frac{6^{4}9^{6}}{54^{8}} = \frac{6^{4}9^{6}}{(6 \cdot 9)^{8}} \)
3. Шаг 3: Применяем свойство степени произведения.
   \( \frac{6^{4}9^{6}}{6^{8}9^{8}} \)
4. Шаг 4: Применяем свойство деления степеней с одинаковым основанием.
   \( 6^{4-8}9^{6-8} = 6^{-4}9^{-2} = \frac{1}{6^{4}} \cdot \frac{1}{9^{2}} = \frac{1}{6^{4}9^{2}} \)
5. Шаг 5: Вычисляем окончательное значение.
   \( \frac{1}{1296 \cdot 81} = \frac{1}{104976} \)

Ответ: a) \( \frac{1}{27} \) ; б) \( \frac{1}{104976} \)