Задание 3. Упростить выражение: a) (a^(4/3) - b^(4/3)) / (a^(1/3) - b^(1/3)) и (a^(4/3) - a^(4/3)b^(1/3) + b^(4/3)) / (a^(1/3) + b^(1/3)) б) 2 * (x^(9/4) / y^(12/5)) / (x^(5/4) / y^(12/5))

Решение:

а) Упростим первое выражение:

Воспользуемся формулой разности кубов \(A^3 - B^3 = (A-B)(A^2+AB+B^2)\).
Пусть \( A = a^{4/3} \) и \( B = b^{4/3} \). Тогда \( A^3 = (a^{4/3})^3 = a^4 \) и \( B^3 = (b^{4/3})^3 = b^4 \).
Также, представим \( a^{1/3} \) как \( x \) и \( b^{1/3} \) как \( y \). Тогда \( a^{4/3} = x^4 \) и \( b^{4/3} = y^4 \).
Выражение принимает вид: \( \frac{x^4 - y^4}{x-y} \).

Упростим второе выражение:
Пусть \( A = a^{1/3} \) и \( B = b^{1/3} \). Тогда \( A^2 = a^{2/3} \), \( B^2 = b^{2/3} \), \( AB = a^{1/3}b^{1/3} \).
В числителе: \( a^{4/3} - a^{2/3}b^{1/3} + b^{4/3} \).
В знаменателе: \( a^{1/3} + b^{1/3} \).

Рассмотрим первое дробное выражение:
\( \frac{a^{4/3} - b^{4/3}}{a^{1/3} - b^{1/3}} = \frac{(a^{4/3} - b^{4/3})(a^{2/3} + a^{2/3}b^{1/3} + b^{2/3})}{(a^{1/3} - b^{1/3})(a^{2/3} + a^{2/3}b^{1/3} + b^{2/3})} \)

Рассмотрим второе дробное выражение:
\( \frac{a^{4/3} - a^{2/3}b^{1/3} + b^{4/3}}{a^{1/3} + b^{1/3}} \)

Поскольку в задании сказано "Упростить выражение", а не "Умножить выражения", и между ними стоит запятая, а не знак умножения, предположим, что нужно упростить каждое выражение отдельно.

Упрощение первого выражения:
\( \frac{a^{4/3} - b^{4/3}}{a^{1/3} - b^{1/3}} = \frac{(a^{1/3})^4 - (b^{1/3})^4}{a^{1/3} - b^{1/3}} = \frac{(a^{2/3} - b^{2/3})(a^{2/3} + b^{2/3})}{a^{1/3} - b^{1/3}} = \frac{(a^{1/3} - b^{1/3})(a^{1/3} + b^{1/3})(a^{2/3} + b^{2/3})}{a^{1/3} - b^{1/3}} = \(a^{1/3} + b^{1/3})(a^{2/3} + b^{2/3}) = a + a^{1/3}b^{2/3} + a^{2/3}b^{1/3} + b \)

Упрощение второго выражения:
\( \frac{a^{4/3} - a^{2/3}b^{1/3} + b^{4/3}}{a^{1/3} + b^{1/3}} \)
Это выражение нельзя упростить без дополнительных условий или преобразований, оно уже достаточно простое.

б) Упростим выражение:

\( 2 \cdot \frac{x^{9/4}}{y^{12/5}} \div \frac{x^{5/4}}{y^{12/5}} \)

1. Заменим деление умножением на обратную дробь:
   \( 2 \cdot \frac{x^{9/4}}{y^{12/5}} \cdot \frac{y^{12/5}}{x^{5/4}} \)
2. Сократим \( y^{12/5} \):
   \( 2 \cdot \frac{x^{9/4}}{x^{5/4}} \)
3. Используем свойство степеней \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \):
   \[ 2 \cdot x^{9/4 - 5/4} = 2 \cdot x^{4/4} = 2 \cdot x^1 = 2x \]

Ответ: а) \(a + a^{1/3}b^{2/3} + a^{2/3}b^{1/3} + b\) и \( \frac{a^{4/3} - a^{2/3}b^{1/3} + b^{4/3}}{a^{1/3} + b^{1/3}} \); б) \(2x\)