Задание 4. Избавиться от иррациональности в знаменателе: a) 9 / (3 * sqrt(3)) б) 3(a-b) / (sqrt(a) - sqrt(b))

Решение:

а) Избавимся от иррациональности в знаменателе:

\( \frac{9}{\sqrt[3]{3}} \)

1. Чтобы избавиться от кубического корня, нужно домножить числитель и знаменатель на такое выражение, чтобы под корнем получилось кубическое число. Умножим на \( \sqrt[3]{3^2} = \sqrt[3]{9} \), чтобы получить \( \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{3^2} = \sqrt[3]{3^3} = 3 \).
2. \( \frac{9}{\sqrt[3]{3}} \cdot \frac{\sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{9}} = \frac{9 \sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{3 \cdot 9}} = \frac{9 \sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{9 \sqrt[3]{9}}{3} \)
3. Сократим дробь:
   \[ 3 \sqrt[3]{9} \]

б) Избавимся от иррациональности в знаменателе:

\( \frac{3(a-b)}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} \)

1. Домножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение к знаменателю, то есть на \( \sqrt{a} + \sqrt{b} \).
2. \( \frac{3(a-b)}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{3(a-b)(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{(\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2} \)
3. Упростим знаменатель: \( a - b \).
4. \( \frac{3(a-b)(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{a-b} \)
5. Сократим \( (a-b) \):
   \[ 3(\sqrt{a} + \sqrt{b}) \]

Ответ: а) \(3\sqrt[3]{9}\); б) \(3(\sqrt{a} + \sqrt{b})\)