Задание 6. Упростить выражение: ((a * cuberoot(b)) / (b * sqrt(a)))^2 + ((sqrt(a)) / (a * cuberoot(b^3)))^2 : (1/a^4 + 1/b^4)

Решение:

Упростим выражение по частям.

Часть 1:

\( \left(\frac{a \cdot \sqrt[3]{b}}{b \cdot \sqrt{a}}\right)^2 \)

1. Представим корни в виде степеней: \( \sqrt[3]{b} = b^{1/3} \) и \( \sqrt{a} = a^{1/2} \).
2. \( \left(\frac{a^1 \cdot b^{1/3}}{b^1 \cdot a^{1/2}}\right)^2 \)
3. Используем свойства степеней \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \):
   \[ \left(a^{1 - 1/2} \cdot b^{1/3 - 1}\right)^2 = \left(a^{1/2} \cdot b^{-2/3}\right)^2 \]
4. Возведём в квадрат: \( (a^{1/2})^2 \cdot (b^{-2/3})^2 = a^{1/2 \cdot 2} \cdot b^{-2/3 \cdot 2} = a^1 \cdot b^{-4/3} = \frac{a}{b^{4/3}} \)

Часть 2:

\( \left(\frac{\sqrt{a}}{a \cdot \sqrt[3]{b^3}}\right)^2 \)

1. Упростим \( \sqrt[3]{b^3} = b \).
2. \( \left(\frac{a^{1/2}}{a^1 \cdot b^1}\right)^2 \)
3. Используем свойства степеней:
   \[ \left(a^{1/2 - 1} \cdot b^{-1}\right)^2 = \left(a^{-1/2} \cdot b^{-1}\right)^2 \]
4. Возведём в квадрат:
   \[ (a^{-1/2})^2 \cdot (b^{-1})^2 = a^{-1} \cdot b^{-2} = \frac{1}{ab^2} \]

Часть 3 (деление):

\( \frac{a}{b^{4/3}} + \frac{1}{ab^2} \div \left(\frac{1}{a^4} + \frac{1}{b^4}\right) \)

1. Сначала вычислим сумму в скобках:
   \[ \frac{1}{a^4} + \frac{1}{b^4} = \frac{b^4 + a^4}{a^4b^4} \]
2. Теперь выполним деление:
   \[ \frac{a}{b^{4/3}} + \frac{1}{ab^2} \div \frac{b^4 + a^4}{a^4b^4} = \frac{a}{b^{4/3}} + \frac{1}{ab^2} \cdot \frac{a^4b^4}{b^4 + a^4} \]
3. Упростим второе слагаемое:
   \[ \frac{1}{ab^2} \cdot \frac{a^4b^4}{b^4 + a^4} = \frac{a^4b^4}{ab^2(b^4 + a^4)} = \frac{a^3b^2}{b^4 + a^4} \]
4. Теперь сложим:
   \[ \frac{a}{b^{4/3}} + \frac{a^3b^2}{b^4 + a^4} \]

Это выражение не упрощается далее без дополнительных данных или специфических условий.

Примечание: Если предполагалось, что между частями 1 и 2 стоит знак умножения, а не сложения, то решение будет другим. Однако, согласно изображению, там стоит знак '+'.

Ответ: \( \frac{a}{b^{4/3}} + \frac{a^3b^2}{b^4 + a^4} \)