Задание 4. На сторонах AB и BC треугольника ABC отмечены точки P и Q соответственно, причём AC = CP = PQ = QB. Известно, что ∠ACB = 104°. Найдите остальные углы треугольника ABC.

Обозначим ∠BAC = α, ∠ABC = β. Тогда α + β = 180° − 104° = 76°.

1. Так как AC = CP, треугольник ACP равнобедренный, поэтому ∠CAP = ∠APC = α и ∠ACP = 180° − 2α.
2. Так как PQ = QB, треугольник PQB равнобедренный. Поскольку Q лежит на BC, ∠PBQ = β, а значит ∠QPB = β и ∠PQB = 180° − 2β. Так как B, Q, C лежат на одной прямой, ∠PQC = 2β.
3. В треугольнике CPQ равны CP и PQ, поэтому углы при C и Q равны: ∠PCQ = ∠PQC = 2β. Следовательно, ∠ACP = ∠ACB − ∠PCQ = 104° − 2β.
4. Приравниваем два выражения для ∠ACP: 180° − 2α = 104° − 2β. Вместе с α + β = 76° получаем α − β = 38°, откуда α = 57°, β = 19°.

Ответ: ∠BAC = 57°, ∠ABC = 19°.