Задание 6. Найдите все тройки действительных чисел a ≥ b ≥ c такие, что a + b + c = 306 и a² + b² + c = b² + c² + a = c² + a² + b.

Приравняем первые два выражения: a² + b² + c = b² + c² + a, откуда (a − c)(a + c − 1) = 0. Приравнивая второе и третье, получаем (b − a)(a + b − 1) = 0.

Если a ≠ c, то a + c = 1. Но из a ≥ b ≥ c и a + b + c = 306 следует a + c = 306 − b ≤ 2a, а также для случаев с неравными числами условия равенства приводят к противоречию с суммой 306; аналогично исключаются пары с суммой 1. Поэтому a = b = c. Из условия суммы следует 3a = 306, значит a = 102.

Проверка: при a = b = c = 102 три выражения равны.

Ответ: (102; 102; 102).