Задание 6. Последовательность задана условиями \(a_1=2\), \(a_{n+1}=\frac{a_n-1}{a_n+1}\) при всех натуральных \(n\). а) Найдите \(a_{2026}\). б) Найдите сумму первых 2026 членов последовательности.

Вычислим несколько членов по рекуррентной формуле: \(a_1=2\), \(a_2=\frac{1}{3}\), \(a_3=-\frac{1}{2}\), \(a_4=-3\), \(a_5=2\). Значения повторяются циклом из четырёх членов.

Поскольку \(2026\equiv2\pmod 4\), получаем \(a_{2026}=a_2=\frac{1}{3}\).

Сумма одного цикла равна \(2+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}-3=-\frac{7}{6}\). В первых 2026 членах содержатся 506 полных циклов и ещё два члена, равные 2 и \(\frac{1}{3}\). Поэтому сумма равна \(506\cdot(-\frac{7}{6})+2+\frac{1}{3}=-588\).

Ответ: а) \(\frac{1}{3}\); б) \(-588\).