Задание 4. Сколькими способами отрезок длины 37 можно разделить на четыре отрезка целочисленной длины так, чтобы среди этих четырёх отрезков было три отрезка одинаковой длины и из всех четырёх отрезков можно было бы сложить четырёхугольник?

Пусть три равных отрезка имеют целую длину a, а четвёртый — длину b. Тогда 3a + b = 37. Чтобы из отрезков можно было сложить четырёхугольник, самый длинный отрезок должен быть короче суммы трёх остальных.

Перебирая положительные целые a при условии b = 37 − 3a, получаем допустимые пары (a, b): (7, 16), (8, 13), (9, 10), (10, 7), (11, 4), (12, 1). В каждом случае выполняется неравенство четырёхугольника; длины отрезков в каждой паре различны.

Ответ: 6 способов.