Задание 6: AC и BD — диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 54°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Так как AC и BD — диаметры окружности с центром O, то AC и BD — диагонали прямоугольника ABCD, вписанного в окружность.

Угол ACB = 54° — это вписанный угол, опирающийся на дугу AB.

Центральный угол, опирающийся на ту же дугу AB, равен удвоенному вписанному углу:

\( \angle AOB = 2 \cdot \angle ACB = 2 \cdot 54^{\circ} = 108^{\circ} \).

Углы AOB и COD — вертикальные, поэтому \( \angle COD = \angle AOB = 108^{\circ} \).

Углы BOC и AOD — вертикальные. Сумма углов вокруг центра O равна 360°.

\( \angle BOC + \angle AOD + \angle AOB + \angle COD = 360^{\circ} \)

\( \angle BOC + \angle AOD + 108^{\circ} + 108^{\circ} = 360^{\circ} \)

\( \angle BOC + \angle AOD = 360^{\circ} - 216^{\circ} = 144^{\circ} \).

Так как \( \angle BOC = \angle AOD \) (вертикальные углы), то:

\( 2 \cdot \angle AOD = 144^{\circ} \)

\( \angle AOD = \frac{144^{\circ}}{2} = 72^{\circ} \).

Ответ: 72.