Задание 6. Последовательность задана условиями \(a_1=2\), \(a_{n+1}=\frac{a_n-1}{a_n+1}\) для всех натуральных n. а) Найдите \(a_{2026}\). б) Найдите сумму первых 2026 членов последовательности.

Последовательно применим заданную формулу: \(a_1=2\), \(a_2=\frac{1}{3}\), \(a_3=-\frac{1}{2}\), \(a_4=-3\), \(a_5=2\). Значения повторяются с периодом 4.

а) Так как 2026 делится на 4 с остатком 2, \(a_{2026}=a_2=\frac{1}{3}\).

б) Сумма четырёх членов периода равна \(2+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}-3=-\frac{7}{6}\). Первые 2024 члена составляют 506 таких периодов. Ещё два члена дают \(a_1+a_2=\frac{7}{3}\). Итого \(506\cdot(-\frac{7}{6})+\frac{7}{3}=-588\).

Ответ: а) \(\frac{1}{3}\); б) −588.