Задание №6. Решите систему уравнений: \( \begin{cases} 3x - 2y = 1 \\ 2^x \cdot 4^y = \frac{1}{8} \end{cases} \)

Решение:

Решим систему уравнений:

\[ \begin{cases} 3x - 2y = 1 \\ 2^x \cdot 4^y = \frac{1}{8} \end{cases} \]

Шаг 1: Упростим второе уравнение.

Приведём все степени ко основанию 2:

\[ 4^y = (2^2)^y = 2^{2y} \]

\[ \frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3} \]

Второе уравнение примет вид:

\[ 2^x \cdot 2^{2y} = 2^{-3} \]

Используя свойство степеней \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \):

\[ 2^{x+2y} = 2^{-3} \]

Приравниваем показатели степеней:

\[ x + 2y = -3 \]

Шаг 2: Решим полученную систему методом сложения.

У нас есть новая система:

\[ \begin{cases} 3x - 2y = 1 \\ x + 2y = -3 \end{cases} \]

Сложим оба уравнения:

\[ (3x - 2y) + (x + 2y) = 1 + (-3) \]

\[ 3x + x - 2y + 2y = -2 \]

\[ 4x = -2 \]

\[ x = \frac{-2}{4} = -0.5 \]

Шаг 3: Найдем значение y.

Подставим найденное значение \( x = -0.5 \) в любое уравнение системы. Возьмём второе: \( x + 2y = -3 \).

\[ -0.5 + 2y = -3 \]

\[ 2y = -3 + 0.5 \]

\[ 2y = -2.5 \]

\[ y = \frac{-2.5}{2} = -1.25 \]

Шаг 4: Проверка (необязательно, но рекомендуется).

Подставим \( x = -0.5 \) и \( y = -1.25 \) в первое уравнение: \( 3(-0.5) - 2(-1.25) = -1.5 + 2.5 = 1 \). Верно.

Подставим \( x = -0.5 \) и \( y = -1.25 \) во второе исходное уравнение: \( 2^{-0.5} \cdot 4^{-1.25} = 2^{-0.5} \cdot (2^2)^{-1.25} = 2^{-0.5} \cdot 2^{-2.5} = 2^{-0.5 + (-2.5)} = 2^{-3} = \frac{1}{8} \). Верно.

Ответ: \( x = -0.5 \), \( y = -1.25 \).