Задание №6. Упростите: б) \(\frac{3y-2}{6}-\frac{y+1}{4}\); г) \(\frac1{a^2}+\frac{a-2}{a}\); е) \(\frac{b-a}{ab}-\frac{a-b}{b^2}\); а) \(\frac{a+1}{a^2-ab}-\frac{1-b}{b^2-ab}\); б) \(\frac{3x^2-8y^2}{x^2-2xy}-\frac{3xy-x^2}{xy-2y^2}\); в) \(\frac2{y^2-4}-\frac1{y^2+2y}\).

б) Общий знаменатель — 12:

\(\frac{3y-2}{6}-\frac{y+1}{4}=\frac{2(3y-2)-3(y+1)}{12}=\frac{3y-7}{12}\).

г) Приведём к знаменателю \(a^2\):

\(\frac1{a^2}+\frac{a-2}{a}=\frac{1+a(a-2)}{a^2}=\frac{(a-1)^2}{a^2}\), \(a\ne0\).

е) Учитывая, что \(a-b=-(b-a)\):

\(\frac{b-a}{ab}-\frac{a-b}{b^2}=\frac{b-a}{ab}+\frac{b-a}{b^2}=\frac{(b-a)(a+b)}{ab^2}=\frac{b^2-a^2}{ab^2}\), \(a,b\ne0\).

а) Разложим знаменатели: \(a^2-ab=a(a-b)\), \(b^2-ab=b(b-a)=-b(a-b)\). Тогда

\(\frac{a+1}{a(a-b)}-\frac{1-b}{-b(a-b)}=\frac{a+1}{a(a-b)}+\frac{1-b}{b(a-b)}\)

\(=\frac{b(a+1)+a(1-b)}{ab(a-b)}=\frac{a+b}{ab(a-b)}\), где \(a,b\ne0\) и \(a\ne b\).

б) Разложим знаменатели и числитель второй дроби:

\(x^2-2xy=x(x-2y)\), \(xy-2y^2=y(x-2y)\), \(3xy-x^2=x(3y-x)\).

\(\frac{3x^2-8y^2}{x(x-2y)}-\frac{x(3y-x)}{y(x-2y)}=\frac{y(3x^2-8y^2)-x^2(3y-x)}{xy(x-2y)}\)

\(=\frac{x^3-8y^3}{xy(x-2y)}=\frac{(x-2y)(x^2+2xy+4y^2)}{xy(x-2y)}=\frac{x^2+2xy+4y^2}{xy}\), где \(x,y\ne0\), \(x\ne2y\).

в) Разложим знаменатели: \(y^2-4=(y-2)(y+2)\), \(y^2+2y=y(y+2)\).

\(\frac2{(y-2)(y+2)}-\frac1{y(y+2)}=\frac{2y-(y-2)}{y(y-2)(y+2)}=\frac{y+2}{y(y-2)(y+2)}=\frac1{y(y-2)}\), где \(y\ne-2,0,2\).

Ответ: б) \(\frac{3y-7}{12}\); г) \(\frac{(a-1)^2}{a^2}\); е) \(\frac{b^2-a^2}{ab^2}\); а) \(\frac{a+b}{ab(a-b)}\); б) \(\frac{x^2+2xy+4y^2}{xy}\); в) \(\frac1{y(y-2)}\).