Задание 6. В треугольнике две стороны равны 9 и 12, а угол, противоположный большей из них, равен 60°. Найдите третью сторону. Обозначьте стороны и угол, запишите теорему косинусов для стороны 12 и решите уравнение.

Обозначим третью сторону через x. Угол 60° противоположен стороне 12, а две прилегающие к этому углу стороны равны 9 и x. По теореме косинусов:

\(12^2=9^2+x^2-2\cdot9\cdot x\cos60^\circ\).

Подставим \(\cos60^\circ=\dfrac12\): \(144=81+x^2-9x\), поэтому \(x^2-9x-63=0\).

Решаем квадратное уравнение: \(x=\dfrac{9\pm\sqrt{81+252}}{2}=\dfrac{9\pm3\sqrt{37}}{2}\). Отрицательный корень не может быть длиной стороны.

Ответ: \(\dfrac{9+3\sqrt{37}}{2}\approx13.62\).