Задание 7. В комнате находятся двадцать человек: a мужчин и b женщин. Каждая пара мужчин пожимает друг другу руки, и каждая пара женщин пожимает друг другу руки, но между мужчинами и женщинами рукопожатий нет. Общее количество рукопожатий равно 106. Найдите произведение a · b.

Имеем \(a+b=20\). Число рукопожатий равно числу пар мужчин плюс числу пар женщин:

\(\frac{a(a-1)}{2}+\frac{b(b-1)}{2}=106\).

Умножим второе равенство на 2 и учтём, что \(a+b=20\): \(a^2+b^2-(a+b)=212\), поэтому \(a^2+b^2=232\).

Из равенства \((a+b)^2=a^2+b^2+2ab\) получаем \(400=232+2ab\), откуда \(ab=84\).

Ответ: 84.