Задание 8. Исследование: выпишите приближения числа √10 (≈ 3,16227…) с недостатком и с избытком для точностей 1; 0,1; 0,01; 0,001. Заметьте, как «сжимается» вилка (a; b) вокруг числа. На каком шаге вилка стала уже, чем при приближении с точностью 0,0005? Запишите вывод одним предположением.

С каждой точностью указываем соседние числа нужного десятичного разряда, между которыми заключено \(\sqrt{10}\approx3.16227\).

1. До 1: \(3<\sqrt{10}<4\); недостаток — 3, избыток — 4. Ширина вилки: \(4-3=1\).
2. До 0,1: \(3.1<\sqrt{10}<3.2\); недостаток — 3,1, избыток — 3,2. Ширина — 0,1.
3. До 0,01: \(3.16<\sqrt{10}<3.17\); недостаток — 3,16, избыток — 3,17. Ширина — 0,01.
4. До 0,001: \(3.162<\sqrt{10}<3.163\); недостаток — 3,162, избыток — 3,163. Ширина — 0,001.

Вилка при точности 0,0005 имеет ширину 0,0005. Следующий десятичный шаг после 0,001 — точность 0,0001: тогда \(3.1622<\sqrt{10}<3.1623\), ширина вилки 0,0001, что меньше 0,0005.

Предположение: на каждом следующем шаге точности ширина вилки уменьшается в 10 раз; после шага до 0,001 она становится меньше 0,0005.