Задание 8. В четырёхугольнике SRKM угол S прямой, SR ∥ MK, RM = MR, ∠MRK = 50°. Найдите углы четырёхугольника.

По засечкам RM = RK, поэтому треугольник MRK равнобедренный. Его углы при основании равны:

∠RMK = ∠MKR = (180° − 50°) / 2 = 65°.

Так как SR ∥ MK, внутренние односторонние углы при секущей RM supplementary:

∠MRS = 180° − ∠RMK = 115°.

При секущей RK получаем ∠SRK = 180° − ∠MKR = 115°. Следовательно, угол четырёхугольника при R равен ∠SRM + ∠MRK + ∠KRS? По рисунку точки S, R, K образуют вершину R, а диагональ RM делит её: ∠SRK = 115°.

Угол M равен 90° (поскольку SM ⟂ SR, а SR ∥ MK — по рисунку основание MK горизонтально, но отметки перпендикулярности при M нет). Следовательно, его нельзя заключить из одних обозначений. Угол K равен 65°, угол S равен 90°, а угол R четырёхугольника равен 115° по параллельности оснований.

Проверка: сумма 90° + 115° + 65° + 90° = 360°; однако ∠R, определённый по параллельным основаниям, равен 115°, и тогда ∠M должен быть 90°. Это также следует из суммы углов.

Ответ: ∠S = 90°, ∠R = 115°, ∠K = 65°, ∠M = 90°.