Задание 9. Решить неравенство. 1) 1 - x² < 0 2) 7x + x² > 0 3) x² + 4x ≤ 32 4) -4x² + 3x + 1 < 0

Пояснение к заданию 9:

В данном задании предлагается решить четыре различных неравенства. Для каждого неравенства нужно найти область значений переменной 'x', при которых данное условие выполняется.

Решения:

1. 1) 1 - x² < 0
   Прибавим x² к обеим частям: 1 < x².
   Это означает, что x > 1 или x < -1.
   Ответ: 1) (-∞; -1) U (1; +∞)
2. 2) 7x + x² > 0
   Вынесем x за скобки: x(7 + x) > 0.
   Корни уравнения x(7 + x) = 0: x = 0 и x = -7.
   Методом интервалов определяем, что неравенство выполняется при x < -7 или x > 0.
   Ответ: 2) (-∞; -7) U (0; +∞)
3. 3) x² + 4x ≤ 32
   Перенесем 32 в левую часть: x² + 4x - 32 ≤ 0.
   Найдем корни квадратного уравнения x² + 4x - 32 = 0. Дискриминант D = 4² - 4(1)(-32) = 16 + 128 = 144. √D = 12.
   x₁ = (-4 - 12) / 2 = -8.
   x₂ = (-4 + 12) / 2 = 4.
   Так как парабола y = x² + 4x - 32 направлена ветвями вверх, неравенство выполняется между корнями, включая корни.
   Ответ: 3) [-8; 4]
4. 4) -4x² + 3x + 1 < 0
   Умножим неравенство на -1 и сменим знак: 4x² - 3x - 1 > 0.
   Найдем корни квадратного уравнения 4x² - 3x - 1 = 0. Дискриминант D = (-3)² - 4(4)(-1) = 9 + 16 = 25. √D = 5.
   x₁ = (3 - 5) / (2*4) = -2 / 8 = -1/4.
   x₂ = (3 + 5) / (2*4) = 8 / 8 = 1.
   Так как парабола y = 4x² - 3x - 1 направлена ветвями вверх, неравенство выполняется вне корней.
   Ответ: 4) (-∞; -1/4) U (1; +∞)