Задание 22. Постройте график функции $$y = \frac{4x - 5}{4x^2 - 5x}$$ Определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Преобразуем функцию:

$$y = \frac{4x - 5}{4x^2 - 5x} = \frac{4x - 5}{x(4x - 5)}$$

При $$4x - 5
eq 0$$, то есть $$x
eq \frac{5}{4}$$ получим:

$$y = \frac{1}{x}$$

Следовательно, графиком функции является гипербола $$y = \frac{1}{x}$$ с выколотой точкой $$\left(\frac{5}{4}; \frac{4}{5}\right)$$.

Прямая $$y = kx$$ проходит через начало координат. Она имеет с графиком ровно одну общую точку, когда либо касается графика (что невозможно, так как нет участков, где $$k = 0$$), либо проходит через выколотую точку.

Найдем k, при котором прямая проходит через выколотую точку:

$$\frac{4}{5} = k \cdot \frac{5}{4}$$

$$k = \frac{4}{5} : \frac{5}{4} = \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{16}{25}$$

Также прямая y=0 имеет с графиком одну общую точку, когда х стремится к бесконечности

Ответ: 0; 16/25