Задание 23. Точка Н является основанием высоты ВН, проведённой из вершины прямого угла В прямоугольного треугольника АВС. Окружность с диаметром ВН пересекает стороны АВ и СВ в точках Р и К соответственно. Найдите ВН, если РК=12.

Точка H - основание высоты BH, проведенной из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно. Необходимо найти BH, если PK = 12.

Так как BH - диаметр окружности, углы BPH и BKH - прямые (опираются на диаметр). Следовательно, BH перпендикулярна AB и CB.

Рассмотрим четырехугольник BPKH. Углы BPH и BKH прямые, значит, сумма углов PBK и PHK равна 180°. Угол PBK прямой, следовательно, угол PHK также прямой.

В треугольнике BPK угол P равен углу K, следовательно, треугольник BPK равнобедренный и угол PBK = 90°.

Рассмотрим треугольник PKH. Так как угол PHK прямой, PK является гипотенузой. Отрезок BH - диаметр окружности, PK = 12.

Поскольку углы BPH и BKH прямые, то PK - хорда, и она видна из точек P и K под прямым углом. Значит, PK - диаметр окружности, и он равен BH. Следовательно, BH = PK = 12.

Ответ: 12