Задание 25. Середина М стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если ВС=3, а углы В и С четырёхугольника равны соответственно 94° и 131°.

Точка M — середина стороны AD выпуклого четырехугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Это означает, что MA = MB = MC = MD.

Углы B и C четырехугольника равны 94° и 131° соответственно. BC = 3. Надо найти AD.

Так как MA = MB = MC = MD, то точки A, B, C, D лежат на окружности с центром в точке M.

Так как M - середина AD, то AD - диаметр этой окружности.

Четырехугольник ABCD - вписанный в окружность. Следовательно, сумма противоположных углов равна 180°.

Угол A + угол C = 180°.

Угол A = 180° - 131° = 49°.

Угол D + угол B = 180°.

Угол D = 180° - 94° = 86°.

Треугольники ABM и CDM равнобедренные, так как MA = MB и MC = MD.

Опустим высоту BH на AD и высоту CK на AD.

Так как треугольники ABM и CDM равнобедренные, BH и CK являются также медианами.

AH = HM и DK = KM.

Тогда HK = HM + MK = AH + KD.

Тогда AD = AH + HK + KD = 2HK = 2BC.

Поскольку BC = 3, то AD = 2 * 3 = 6.

Ответ: 6