27. 2√3 cos²(x) + sin(2x) = √3

Используем формулу двойного угла для синуса: sin(2x) = 2sin(x)cos(x).

2√3 cos²(x) + 2sin(x)cos(x) = √3

Перенесем все в одну сторону:

2√3 cos²(x) + 2sin(x)cos(x) - √3 = 0

Разделим уравнение на cos²(x) (предполагая, что cos(x) ≠ 0):

2√3 + 2tg(x) - √3 / cos²(x) = 0

Вспомним, что 1 / cos²(x) = 1 + tg²(x):

2√3 + 2tg(x) - √3(1 + tg²(x)) = 0

2√3 + 2tg(x) - √3 - √3tg²(x) = 0

-√3tg²(x) + 2tg(x) + √3 = 0

√3tg²(x) - 2tg(x) - √3 = 0

Введем замену t = tg(x):

√3t² - 2t - √3 = 0

Решим это квадратное уравнение относительно t. Дискриминант D = b² - 4ac = (-2)² - 4 * √3 * (-√3) = 4 + 12 = 16.

Так как D > 0, уравнение имеет два различных корня:

t₁ = (2 + √16) / (2√3) = (2 + 4) / (2√3) = 6 / (2√3) = 3 / √3 = √3

t₂ = (2 - √16) / (2√3) = (2 - 4) / (2√3) = -2 / (2√3) = -1 / √3 = -√3 / 3

Теперь вернемся к замене tg(x) = t:

tg(x) = √3

tg(x) = -√3 / 3

Решим уравнение tg(x) = √3. Это стандартное тригонометрическое уравнение, его решение:

x = π/3 + πk, где k ∈ Z

Решим уравнение tg(x) = -√3 / 3. Это стандартное тригонометрическое уравнение, его решение:

x = -π/6 + πk, где k ∈ Z

Ответ: x = π/3 + πk, x = -π/6 + πk, k ∈ Z