24. 2 sin²(x) - 5 cos(x) - 4 = 0

Для решения данного тригонометрического уравнения, необходимо выразить sin²(x) через cos²(x), используя основное тригонометрическое тождество sin²(x) + cos²(x) = 1.

Заменим sin²(x) на (1 - cos²(x)) в уравнении:

2(1 - cos²(x)) - 5cos(x) - 4 = 0

Раскроем скобки и упростим:

2 - 2cos²(x) - 5cos(x) - 4 = 0

-2cos²(x) - 5cos(x) - 2 = 0

Умножим обе части на -1, чтобы получить положительный коэффициент перед cos²(x):

2cos²(x) + 5cos(x) + 2 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно cos(x). Введем замену t = cos(x), тогда уравнение примет вид:

2t² + 5t + 2 = 0

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант D = b² - 4ac = (5)² - 4 * 2 * 2 = 25 - 16 = 9.

Так как D > 0, уравнение имеет два различных корня:

t₁ = (-5 + √9) / (2 * 2) = (-5 + 3) / 4 = -2 / 4 = -1/2

t₂ = (-5 - √9) / (2 * 2) = (-5 - 3) / 4 = -8 / 4 = -2

Теперь вернемся к замене cos(x) = t:

cos(x) = -1/2

cos(x) = -2 (невозможно, так как |cos(x)| ≤ 1)

Решим уравнение cos(x) = -1/2. Это стандартное тригонометрическое уравнение, его решения:

x = 2π/3 + 2πk, где k ∈ Z

x = -2π/3 + 2πk, где k ∈ Z

Ответ: x = 2π/3 + 2πk, x = -2π/3 + 2πk, k ∈ Z