23. tg²(x) + (√3 - 1) tg(x) - √3 = 0

Введем замену t = tg(x), тогда уравнение примет вид:

t² + (√3 - 1)t - √3 = 0

Решим это квадратное уравнение относительно t. Дискриминант D = b² - 4ac = (√3 - 1)² - 4 * 1 * (-√3) = (3 - 2√3 + 1) + 4√3 = 4 + 2√3 = (1 + √3)².

Так как D > 0, уравнение имеет два различных корня:

t₁ = (-(√3 - 1) + √(4 + 2√3)) / (2 * 1) = (1 - √3 + (1 + √3)) / 2 = 2 / 2 = 1

t₂ = (-(√3 - 1) - √(4 + 2√3)) / (2 * 1) = (1 - √3 - (1 + √3)) / 2 = -2√3 / 2 = -√3

Теперь вернемся к замене tg(x) = t:

tg(x) = 1

tg(x) = -√3

Решим уравнение tg(x) = 1. Это стандартное тригонометрическое уравнение, его решение:

x = π/4 + πk, где k ∈ Z

Решим уравнение tg(x) = -√3. Это стандартное тригонометрическое уравнение, его решение:

x = -π/3 + πk, где k ∈ Z

Ответ: x = π/4 + πk, x = -π/3 + πk, k ∈ Z