4. ∫(-2/3sinx+5tgx)dx

Ответ: ∫(-2/3 sinx + 5 tgx) dx

Решаем интеграл ∫(-2/3 sinx + 5 tgx) dx:

Шаг 1: Разбиваем интеграл на сумму интегралов.

∫(-2/3 sinx + 5 tgx) dx = ∫(-2/3 sinx) dx + ∫(5 tgx) dx

Шаг 2: Выносим константы за знаки интегралов.

∫(-2/3 sinx) dx + ∫(5 tgx) dx = -2/3 ∫sinx dx + 5∫tgx dx

Шаг 3: Интегрируем каждый интеграл.

-2/3 ∫sinx dx = -2/3 * (-cosx) + C₁ = 2/3 cosx + C₁

5∫tgx dx = 5∫(sinx/cosx) dx = -5ln|cosx| + C₂

Шаг 4: Собираем все части вместе.

2/3 cosx - 5ln|cosx| + C

Ответ: 2/3 cosx - 5ln|cosx| + C