9. ∫(x⁶-2x⁴-6x³-x²)/x²dx

Ответ: ∫(x⁶-2x⁴-6x³-x²)/x²dx

Решаем интеграл ∫(x⁶ - 2x⁴ - 6x³ - x²)/x² dx:

Шаг 1: Делим каждый член полинома на x².

(x⁶ - 2x⁴ - 6x³ - x²)/x² = x⁴ - 2x² - 6x - 1

Шаг 2: Разбиваем интеграл на сумму интегралов.

∫(x⁴ - 2x² - 6x - 1) dx = ∫x⁴ dx - ∫2x² dx - ∫6x dx - ∫1 dx

Шаг 3: Выносим константы за знаки интегралов.

∫x⁴ dx - ∫2x² dx - ∫6x dx - ∫1 dx = ∫x⁴ dx - 2∫x² dx - 6∫x dx - ∫1 dx

Шаг 4: Интегрируем каждый интеграл.

∫x⁴ dx = x⁵/5 + C₁

-2∫x² dx = -2 * (x³/3) + C₂ = -2/3 x³ + C₂

-6∫x dx = -6 * (x²/2) + C₃ = -3x² + C₃

-∫1 dx = -x + C₄

Шаг 5: Собираем все части вместе.

x⁵/5 - 2/3 x³ - 3x² - x + C

Ответ: x⁵/5 - 2/3 x³ - 3x² - x + C