∫(1-3x+4x²)/x dx

Ответ: ∫(1-3x+4x²)/x dx

Решаем интеграл ∫(1 - 3x + 4x²)/x dx:

Шаг 1: Делим каждый член полинома на x.

(1 - 3x + 4x²)/x = 1/x - 3 + 4x

Шаг 2: Разбиваем интеграл на сумму интегралов.

∫(1/x - 3 + 4x) dx = ∫(1/x) dx - ∫3 dx + ∫4x dx

Шаг 3: Выносим константы за знаки интегралов.

∫(1/x) dx - ∫3 dx + ∫4x dx = ∫(1/x) dx - 3∫dx + 4∫x dx

Шаг 4: Интегрируем каждый интеграл.

∫(1/x) dx = ln|x| + C₁

-3∫dx = -3x + C₂

4∫x dx = 4 * (x²/2) + C₃ = 2x² + C₃

Шаг 5: Собираем все части вместе.

ln|x| - 3x + 2x² + C

Ответ: ln|x| - 3x + 2x² + C