► 5-3. В каждой клетке доски 8 х 8 написано натуральное число (то есть какое-то из чисел 2,3,...). Числа могут быть одинаковыми. Оказалось, что в любых двух квадратах 2 х 2 суммы чисел различны. Докажите, что одно из чисел на доске больше 12.

Доказательство:

Рассмотрим доску 8x8, разбитую на квадраты 2x2. Всего таких квадратов 7x7 = 49.

Предположим, что все числа в квадратах меньше или равны 12. Тогда максимальная сумма чисел в квадрате 2x2 равна 4 * 12 = 48.

Минимальная возможная сумма в квадрате 2x2, если все числа различны и натуральные (то есть 2, 3, 4,...), равна 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Следовательно, все суммы квадратов 2x2 должны быть различными числами от 14 до 48, то есть всего 48 - 14 + 1 = 35 различных сумм.

Но у нас 49 квадратов 2x2, и они должны иметь различные суммы, что невозможно, так как 49 > 35.

Значит, наше предположение неверно, и хотя бы одно число на доске должно быть больше 12.

Ответ: Доказано, что одно из чисел на доске больше 12.