25. ★★☆ На медиану ВМ треугольника АВС опустили перпендикуляр СH. Оказалось, что АН ВС. В каком от- ношении медиану ВМ делит точка Н?

Пусть медиана BM пересекает высоту CH в точке H. Обозначим угол ABH как α.

Так как CH - перпендикуляр к BM, угол CHB равен 90 градусов.

В прямоугольном треугольнике CHB: угол BCH = 90° - α.

Так как AH = BC, треугольник AHC - равнобедренный.

Опустим перпендикуляр из точки A на сторону BC, пусть это будет точка D. Тогда AD также является медианой и высотой в треугольнике AHC, поэтому угол HAD = углу DAC.

Так как AD - высота, угол ADB равен 90°. Тогда в прямоугольном треугольнике ADB: угол DAB = 90° - α.

Таким образом, угол DAC = углу DAB = 90° - α, и угол BAC = угол DAB + угол DAC = 2*(90° - α).

В треугольнике ABC сумма углов равна 180°: угол ABC + угол BCA + угол BAC = 180°.

Следовательно, α + угол BCA + 2*(90° - α) = 180°, откуда угол BCA = α.

Так как угол ABC = углу BCA = α, треугольник ABC - равнобедренный, и AB = AC.

Так как BM - медиана в равнобедренном треугольнике, она также является высотой и биссектрисой. Поэтому угол ABM = углу CBM = α/2.

В прямоугольном треугольнике CHB: угол BCH = 90° - α/2.

Так как угол ABH = углу BCH, треугольник CBH - равнобедренный, и CH = BH.

В равнобедренном треугольнике CBH высота HM также является медианой, поэтому CM = MH.

Следовательно, точка H делит медиану BM в отношении 1:2 (BH:HM = 2:1).

Ответ: 2:1.