28. ★★☆ Точка М — середина стороны АС треугольника АВС. На его сторо- нах АВ и ВС взяли точки К и Е, что угол КМЕ = 90°. Докажите, что из от- резков АК, КЕ и СЕ можно составить другой треугольник. Найдите его боль- ший угол, если угол АВС равен 50°.

Пусть M - середина стороны AC треугольника ABC. На сторонах AB и BC взяты точки K и E такие, что угол KME = 90°.

Поскольку AK, KE, CE являются сторонами некоторого треугольника, необходимо доказать, что AK + CE > KE.

Продолжим отрезок KM за точку M и отложим отрезок MF = KM. Аналогично, продолжим отрезок EM за точку M и отложим отрезок MG = EM. Рассмотрим четырехугольник KFGE.

Так как KM = MF и EM = MG, а угол KME = 90°, то угол FMG также равен 90°, следовательно, угол KMG = 180°. Таким образом, точки K, M, G лежат на одной прямой. Аналогично, точки F, M, E лежат на одной прямой.

Рассмотрим треугольник AKF. AK + AF > KF. Рассмотрим треугольник CEG. CE + EG > CG.

Так как M - середина AC, то AM = MC. Следовательно, AF = AC - FC = AC - CE, и EG = AC - AG = AC - AK.

Тогда AK + AC - CE > KF, и CE + AC - AK > CG.

Поскольку KF = 2KM и EG = 2EM, а KE = 2√(KM^2 + EM^2) (по теореме Пифагора), то AK + CE > KE.

Теперь найдем больший угол треугольника, составленного из отрезков AK, KE, CE. Так как угол ABC = 50°, а угол KME = 90°, то угол KCE = 130°.

Ответ: Доказано, 130°.