24. ★★ На медиане ВМ треугольника АВС взяли точку К так, что угол АКМ равен углу МВС. Докажите, что отрезок АК равен одной из сторон треугольника. ( рис.)

Для доказательства того, что отрезок AK равен одной из сторон треугольника, нужно доказать, что AK = AB.

Угол AKM = углу MBC по условию.

Угол AMK = углу CMB, так как BM – медиана, следовательно, M – середина AC, и треугольники ABM и CBM имеют равные стороны AM и MC.

Треугольники AKM и CBM подобны по двум углам (угол AKM = углу MBC и угол AMK = углу CMB).

Следовательно, AK/BC = AM/BM.

Так как AM = MC, то AK/BC = MC/BM.

Если AK = AB, то AK/BC = AB/BM.

Следовательно, AB/BM = MC/BM.

AB = MC, а так как MC = AM (BM – медиана), то AB = AM.

Треугольник ABM – равнобедренный (AB = AM).

Ответ: Доказано.