23. ★☆☆ В треугольнике АВС провели медиану ВЕ. Найдите угол АВС, если AB = 2BE. ∠CBE = 2/ABE.

Пусть ∠ABE = α, тогда ∠CBE = 2α, и ∠ABC = ∠ABE + ∠CBE = α + 2α = 3α.

Продлим медиану BE на отрезок ED = BE. Тогда AE = BC (так как BE - медиана).

Рассмотрим треугольник ABE. В нём AB = 2BE = ED. Треугольник ABE равнобедренный, так как AB = 2BE.

Рассмотрим треугольник BCE. В нём BC = AE, BE = ED и ∠BEC = ∠AED как вертикальные. Следовательно, треугольники BCE и ADE равны по двум сторонам и углу между ними.

Тогда ∠DAE = ∠CBE = 2α и AD = BC. Так как AB = ED, то ∠BAD = ∠BDE.

В треугольнике ABD AB = BD, следовательно, угол ∠BAD = ∠BDA. Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, то ∠BAD = ∠BDA = (180° - α)/2 = 90° - α/2.

Следовательно, ∠ABC = 3α.

В треугольнике ABC:

3α = 90°.

α = 30°.

∠ABC = 3 * 30° = 90°.

Ответ: 90°.