29. ✶✶✶ В треугольнике АВС провели медиану ВМ. На стороне АВ взяли точку К так, что угол ВMK = 90°. Оказалось, что ВК ВС. Найдите угол АВМ, если угол СВМ равен 60°. (рис.)

Пусть в треугольнике ABC проведена медиана BM, точка K на стороне AB такая, что угол BMK = 90° и BK = BC. Угол CBM = 60°.

Так как BM - медиана, то AM = MC. Пусть угол ABM = α.

В треугольнике BMK угол BMK = 90°, следовательно, треугольник BMK прямоугольный.

Рассмотрим треугольник BCK. BK = BC, следовательно, треугольник BCK равнобедренный, и угол BKC = углу BCK = (180° - (60° + α))/2 = (120° - α)/2 = 60° - α/2.

Угол AKM = 180° - угол BKC = 180° - (60° - α/2) = 120° + α/2.

В треугольнике AMK угол MAK = 180° - угол AKM - угол AMK = 180° - (120° + α/2) - 90° = -30° - α/2. Это невозможно, следовательно, задача имеет ошибку в условии.

Ответ: Решения нет.