№ 6. (4 балла). Даны точки А(1; 5), B(-2; 2), C(0; 0), D(3; 3). Докажите, что ABCD -прямоугольник.

Для того, чтобы доказать, что ABCD - прямоугольник, нужно показать, что это параллелограмм, у которого хотя бы один угол прямой. 1. Найдем длины сторон AB, BC, CD, DA: \(AB = \sqrt{(-2-1)^2 + (2-5)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\) \(BC = \sqrt{(0-(-2))^2 + (0-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) \(CD = \sqrt{(3-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\) \(DA = \sqrt{(1-3)^2 + (5-3)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) Так как AB = CD и BC = DA, то ABCD - параллелограмм. 2. Проверим, является ли угол между AB и BC прямым. Для этого найдем векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{BC}\): \(\vec{AB} = (-2-1; 2-5) = (-3; -3)\) \(\vec{BC} = (0-(-2); 0-2) = (2; -2)\) Найдем скалярное произведение этих векторов: \(\vec{AB} \cdot \vec{BC} = (-3)(2) + (-3)(-2) = -6 + 6 = 0\) Так как скалярное произведение равно 0, векторы перпендикулярны, а значит, угол ABC - прямой. Следовательно, ABCD - прямоугольник. Ответ: ABCD - прямоугольник.