№3 (2 балла). Найдите площадь и периметр ромба, если его диагонали равны 8 см и 10 см.

Пусть ( d_1 ) и ( d_2 ) - диагонали ромба. Площадь ромба ( S ) равна половине произведения его диагоналей: ( S = \frac{1}{2} d_1 d_2 ). В данном случае, ( d_1 = 8 ) см и ( d_2 = 10 ) см. Тогда: ( S = \frac{1}{2} cdot 8 cdot 10 = \frac{1}{2} cdot 80 = 40 ) см². Чтобы найти периметр ромба, нужно сначала найти длину его стороны. Диагонали ромба перпендикулярны и делят друг друга пополам. Значит, половинки диагоналей равны 4 см и 5 см. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинками диагоналей и стороной ромба. По теореме Пифагора, сторона ромба ( a ) равна: ( a^2 = 4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41 ) ( a = \sqrt{41} ) см. Периметр ромба ( P ) равен ( 4a ), то есть ( P = 4 \sqrt{41} ) см. ( P \approx 4 \cdot 6.4 = 25.6 ) см. Ответ: Площадь ромба равна 40 см², периметр ромба равен ( 4\sqrt{41} ) см (приблизительно 25.6 см).