№ 1. Даны окружность с центром О радиуса 5 см и точка М. Через точку М проведены две касательные к окружности. Найдите угол между ними, если ОМ = 10 см.

Пусть А и В - точки касания. Тогда ОА = ОВ = 5 см (радиусы), ОМ = 10 см. Треугольники OAM и OBM - прямоугольные (радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной). Рассмотрим треугольник OAM: \(sin(\angle OMA) = \frac{OA}{OM} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}\) Отсюда, \(\angle OMA = 30^\circ\). Так как треугольники OAM и OBM равны, то \(\angle OMB = \angle OMA = 30^\circ\). Искомый угол между касательными равен \(\angle AMB = \angle OMA + \angle OMB = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ\). Ответ: 60°