№ 2. Найдите четвёртый член и сумму первых пяти членов геометрической прогрессии (в), если в₁ = 1/9 и q = 3.

Решение:

1. Найдём четвёртый член прогрессии: \( b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \), следовательно \( b_4 = \frac{1}{9} \cdot 3^{4-1} = \frac{1}{9} \cdot 3^3 = \frac{1}{9} \cdot 27 = 3 \)
2. Найдём сумму первых пяти членов прогрессии: \( S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1} \), следовательно \( S_5 = \frac{\frac{1}{9}(3^5 - 1)}{3 - 1} = \frac{\frac{1}{9}(245)}{2} = \frac{242}{9} \cdot \frac{1}{2} = \frac{121}{9} = 13 \frac{4}{9} \)

Ответ: \( b_4 = 3 \), \( S_5 = 13 \frac{4}{9} \)