№ 3. Прямая пересекает стороны треугольника АВС в точках М и К соответственно так, что МК || АС, ВМ : АМ = 1: 4. Найдите периметр треугольника ВМК, если периметр треугольника АВС равен 25 см.

Рассмотрим задачу №3.

Дано: MK || AC, BM : AM = 1 : 4, P(ABC) = 25 см.

Найти: P(BMK).

1. Найдем отношение BM к AB:

Так как BM : AM = 1 : 4, то AM = 4 * BM. Следовательно, AB = BM + AM = BM + 4 * BM = 5 * BM.

Таким образом, BM : AB = BM : (5 * BM) = 1 : 5.

2. Рассмотрим треугольники BMK и BAC. У них ∠B - общий. Так как MK || AC, то ∠BMK = ∠BAC и ∠BKM = ∠BCA как соответственные углы при параллельных прямых и секущей. Следовательно, треугольники BMK и BAC подобны по двум углам (первый признак подобия).

3. Запишем отношение периметров подобных треугольников BMK и ABC:

$$ \frac{P(BMK)}{P(ABC)} = \frac{BM}{BA} $$

4. Подставим известные значения:

$$ \frac{P(BMK)}{25} = \frac{1}{5} $$

5. Найдем периметр треугольника BMK:

$$ P(BMK) = \frac{25}{5} = 5 $$

Ответ: P(BMK) = 5 см