№ 4*. В трапеции ABCD (AD и ВС основания) диагонали пересекаются в точке О, SAOD32 см², S вос = 8 см². Найдите меньшее основание трапеции, если большее из них равно 10 см.

Рассмотрим задачу №4*.

Дано: ABCD - трапеция, AD и BC - основания, S(AOD) = 32 см², S(BOC) = 8 см², AD = 10 см.

Найти: BC.

1. Рассмотрим треугольники AOD и BOC. ∠AOD = ∠BOC как вертикальные. ∠DAO = ∠BCO и ∠ADO = ∠CBO как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущих AC и BD. Следовательно, треугольники AOD и BOC подобны по двум углам (первый признак подобия).

2. Запишем отношение площадей подобных треугольников AOD и BOC:

$$ \frac{S(BOC)}{S(AOD)} = \left(\frac{BC}{AD}\right)^2 $$

3. Подставим известные значения: S(AOD) = 32 см², S(BOC) = 8 см², AD = 10 см.

$$ \frac{8}{32} = \left(\frac{BC}{10}\right)^2 $$ $$ \frac{1}{4} = \left(\frac{BC}{10}\right)^2 $$

4. Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$$ \frac{1}{2} = \frac{BC}{10} $$

5. Найдем BC:

$$ BC = \frac{10}{2} = 5 $$

Ответ: BC = 5 см